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向量公式

人气:347 ℃/2023-06-08 18:13:04

向量公式有哪些?下面让我们一起来了解一下吧。

1、向量的加法:

向量的加法:

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律:

交换律:a+b=b+a;

结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法:

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。

向量的减法:

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y')。

3、数乘向量:

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时,λa与a同方向;

向量的数乘:

当λ<0时,λa与a反方向;

向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律:

结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

4、向量的数量积:

定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π.

定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'.

向量的数量积的运算律:

a·b=b·a(交换律);

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律);

(a+b)·c=a·c+b·c(分配律);

向量的数量积的性质:

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)

向量的数量积与实数运算的主要不同点:

1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.

2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

5、向量的向量积:

定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”).若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质:

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

向量的向量积运算律:

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

a×(b+c)=a×b+a×c.

注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

6、三向量的混合积:

向量的混合积:

定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,

向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。

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